11 - Espaços das Fractais -> A fractal é um elemento do espaço dos fractais.

Um expaço X é um conjunto e os pontos do espaço são os elementos do conjunto.

Exemplo de conjunto: X = R (conjunto dos números reais)

e Exemplo de ponto: x pertence R ( é um número real, um ponto na reta).

-Um Espaço é Linear: quando a adição de dois elementos do espaço também pertence ao espaço. E a multiplicação de um elemento do espaço por um escalar também pertence ao espaço.

- Espaço é chamado Vetorial quando ele é Linear, ou seja espaços lineares e vetoriais são sinônimos.

O simbolo: A/B indica os membros do conjunto A que não são membros de B.

- Espaços Homeomórfos: dois espaços métricos (x1, d1) e (x2, d2) são homeomorfos se existir uma função { f:x1 -> x2} que transforme um deles no outro.

12 - Transformação na Reta -> É a transformação em um espaço métrico (X,d) é uma função f : X -> X que relaciona exatamente um ponto f(x) pertence X a cada ponto x pertence X.

13 - Transformação Afim -> R é uma transformação na forma : f(x) = ax + b onde a e b são constantes reais.

14 - Transformação Polinomial -> F : R -> R de grau N pode produzir até (n-1) dobras. Quando desejar obter um efeito especial em uma imagem "Dobrar a Imagem", basta utilizar a fórmula da transformação polinomial.

15 - Transformação Linear -> É a transformação afim em que t = 0, transformam paralelograma em paralelograms com origens no mesmo ponto.

16 - Transformação de MÖBIUS -> Esta transformação mapeia o plano complexo na esfera, conhecida como projeção estereográfica. Exemplo típico são as bolas de Natal que espelham o que está de fora para dentro delas (Inversão na esfera).

Trans.MÖBIUS

17 - Transformações Analíticas -> A transformação é analítica se for contínua e se comportar localmente como uma similitude (é uma transformação generalização da transformação de Möbius).

18 - Mapeamento de Contração no Espaço das Fractais -> A fractal determinística como o ponto fixo de uma transformação de contração em ( H(X), h(d)) se for o espaço dos compactos do espaço métrico (X,d) e h(d) a métrica de Hausdorff.

19 - Hyperbolic Iterated Function System (IFS) ou sistemas de funções iterativas hiperbólicas -> Em vez de trabalhar com linhas como no Sistema-L, os IFS substituem polígonos por outros polígonos adequados a escala e transladados do polígono gerador.

Usam sistemas de funções para descrever as transformações que ocorrerão no conjunto inicial.

Exemplo mais tipico é o da geração folha de samambaia:

O sistema gerado por um algoritmo semelhante mas ramdomico ("Random Iteration Algorithm" ) funciona calculando repetidamente séries de orbitas descrevem as posições de um ponto de coordenadas x y.

Gerando uma samambaia.

As figuras abaixo são exemplos de arquivos IFS gerados pelo Software CHAOS.

20 - L-System ou "Sistemas de Lindenmeyer" -> É uma ferramenta muito util para a criação de objetos realísticos que acontecem na natureza em particular estruturas de ramificação de plantas.

Tivemos aqui na UFF nos ultimos anos dois trabalhos de fim de curso que trataram da implementação de sistemas deste tipo.

Um deles levou a geração so software EasyTree para geração de arvores, plantas e arbustos.

O outro possibilita a geração tridimensional atraves de gráficos tartaruga de objetos.

Um símbolo ou objeto é gerado a cada repetição de acordo com algumas regras de substituição.

Suponha que F quer dizer avance e desenhe uma linha reta,
Suponha que + quer dizer gire de 90 graus para a direita

e Suponha que - quer dizer gire para a esquerda de 90 graus.

Por exemplo:

Considere a geração inicial (chamada axioma)

F+F+F+F

e uma regra que dica para voce reescrever cada F por uma outra seguencia

F -> F+F-F-FF+F+F-F

depois de uma repetição resultaria a linha seguinte : F+F-F-FF+F+F-F + F+F-F-FF+F+F-F + F+F-F-FF+F+F-F + F+F-F-FF+F+F-F

para a próxima repetição a mesma regra seria aplicada ... e o resultado :

F+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F-F+ F-F-FF+ F+ F-F-F+ F-F-FF+ F+ F-FF+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F-F+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F-F+ F-F-FF+ F+ F-F-F+ F-F-FF+ F+ F-FF+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F-F+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F-F+ F-F-FF+ F+ F-F-F+ F-F-FF+ F+ F-FF+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F-F+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F-F+ F-F-FF+ F+ F-F-F+ F-F-FF+ F+ F-FF+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F-F+ F-F-FF+ F+ F-F

Usando outras regra de substituição diversas figuras podem ser geradas como as mostradas na figura seguinte:

21 - Dimensão Euclidiana -> - Um objeto de 1 dimensão (por exemplo uma linha), pode ser dividido em N partes , cada parte será idêntica a anterior multiplicada por um fator ( r = 1/N e N * r¹ = 1 ).

- Um objeto de 2 dimensões (por exemplo um quadrado), cada parte será idêntica a anterior multiplicada por um fator ( r = 1/N e N * r²=1).

- Um objeto de 3 dimensões (por exemplo um cubo), cada parte será idêntica a anterior e a original multiplicada por um fator ( r = 3v 1/N e N * r³=1 ).

22 - Dimensão Fractal-> É obtida por medições experimentais como indicado no resumo do CD deste curso (cap.5), ou por deduções.
Em ambos os casos são obtidos por a subdivisão sucessiva da figura cuja dimensao se deseja calcular. A Dimensão Fractal aproximada do clássico conjunto de Cantor pode ser obtida lembrando seu processo de geracao.
Como ele é gerado atraves da subdivisao de uma reta em 3 partes iguais, e cada iteração é igual a duas partes da próxima iteração. Vemos que precisamos de duas partes para reconstruir o todo e cada parte é igual a anterior dividida por 3. Esse exemplo,a dimensao do conjunto será ln 2/ ln 3.

Em imagens e texturas utiliza-se da técnica de Box Counting para determinação da dimensão fractal do objeto,essa técnica vem sendo pesquisado na UFF desde 1994 e já deu origem a diversos trabalhos, papers, disertações e teses. Atualmente a DF esta sendo pesquisada para catacterizar texturas multi bandas de imagens genéricas da superficie terrestre.

Neste método é utilizado um sistema de coordenadas cartesianas para facilitar a divisão da figura em espaços e conta-se o número de caixas quadradas de lado 1/2n, que a interceptam a figura. A dimensão fractal será fornecida pela análise dos dados relativo ao numero dos box que interceptama figura e seus lados . Pode-se, a partir desses dados, obter-se um gráfico, do qual, retirar-se-á o valor da dimensão fractal pelo coeficiente angular da reta que passar pelos pontos experimentais. O valor da dimensão fractal, neste caso é retirada da equação da reta que melhor se ajustar aos pontos experimentais, de seu coeficiente angular (a) -> y = a x - b onde a = DF .

A lacunariade é um aspecto que complementa a DF na caracterização de texturas.

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