texto de Tereza Godim
Interpolação Spline
É uma técnica de aproximação que consiste em se dividir o intervalo de interesse em vários subintervalos e interpolar, da forma mais suave possível, nestes subintervalos com polinômios de grau pequeno.
Definição. Sejam uma subdivisão do intervalo [a,b]. Uma função spline de grau p com nós nos pontos (xi ,fi)(i=0,m) é uma função sp(x) com as propriedades:
a) em cada subintervalo [xi,xi+1] (i=0,m-1), sp(x) é um polinômio de grau p.
b) sp(x) é contínuo em [a,b] e tem derivada contínua em [a,b] até ordem p.
A spline interpolante é a função sp(x) tal que sp(xi)=f(xi) (i=0,m).
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Splines, usadas em desenhos de engenharia, são réguas flexíveis, de madeira ou plástico, que podem ser curvadas de forma a passar por um dado conjunto de pontos (xi,fi) chamados nós. Apesar de ser usada desde o século passado, só no fim da década de 60 foi desenvolvida a formulação matemática deste problema. Tal formalização possibilitou o desenvolvimento de vários sistemas computadorizados que utilizam aproximações gráficas de funções como CAD/CAM e TURBO GRAFIX.
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A tradicional Spline Física e ducks |
Obs: Ducks são pesos que são fixados nas áreas de interesse causando a deformação da estrutura de madeira ou plástico resultando assim na curva.
M(x) = EI / R(x) (Equação de Euler para o momento de defletor)
E Â cte determinada pelo material da estrutura física.
R(x) - raio de curvatura.
I - é o momento de inércia.
Para pequenas deflecções o raio de curvatura é equivalente a yÂÂ ou seja:
1/R(x) = yÂÂ
donde:
yÂÂ=M(x)/EI
Assumindo que os pesos variem linearmente entre os suportes o momento deflector fica:
M(x)=Ax+B
Substituindo na equação de Euler:
EI
Aplicando  se a integral dupla temos
y=A1x3 + B1x2 + C1x + D1
A spline física é descrita matemáticamente através de um polinômio cubico.
Em geral, o spline matemático é um polinômio de grau K com continuidade de derivada de ordem K-1 nas juntas comuns entre segmentos. Assim, o spline cúbico tem segunda-ordem ou continuidade de C2 nas juntas. Splines de polinômios de baixo-grau são muito úteis para curva que ajusta polinômios de baixo-grau reduzem as exigências computacionais e também reduzem instabilidades numéricas que causam oscilações indesejáveis quando são unidos vários pontos em uma curva comum. Porém, desde que polinômios de baixo-grau não podem medir uma série arbitrária de pontos, segmento de polinômios adjacente é usado. Baseado nestas considerações e fazendo analogia com o spline físico, uma técnica comum é usar uma série de segmentos splines cúbicos com cada segmento di vidindo somente dois pontos. Alem disso, o spline cúbico é vantajoso desde que a curva de mais baixo grau que permite um ponto de inflexão e a qual tem a habilidade para torcer sobre o espaço.
A equação para um único segmento de spline cúbico paramétrico é determinada por
P(t)= S 4i=1BiTi-1 t1<=t<=t2 (5-1)
onde t1 e t2 são valores de parâmetro que iniciam e finalizam o segmento. P(t) é o vetor de posição de qualquer ponto no segmento de spline cúbico. P(t)=[x(t) y(t) z(t)] é o valor vetorial da função .
Os três componentes de P(t) é as coordenadas Cartesianas do vetor posição. Cada componente tem uma formulação semelhante a P(t), i.e.,
x(t)= S 4i=1BixTi-1 t1<=t<=t2 (5-1)
y(t)= S 4i=1BiyTi-1 t1<=t<=t2 (5-1)
z(t)= S 4i=1BizTi-1 t1<=t<=t2 (5-1)
Os coeficientes constantes Bi são determinados especificando quatro condições de fronteira para o segmento spline. Transcrevendo a Eq. (5-1) produz:
P(t)=B1+B2t+B3t2+B4t3 t1<=t<=t2 (5-2).
Seja p1 e P2 os vetores posição no fim do segmento da spline. Também seja P'1 e P' 2, os derivado com respeito a t, ser os vetores tangentes aos fins do segmento de spline.
Diferenciando a Eq.(5-1) produz:
PÂ(t)=[xÂ(t) yÂ(t) zÂ(t)] = S 4i=1Bi (i-1)ti-2 t1<=t<=t2 (5-3)
Transcrevendo este resultado obtemos:
PÂ(t)=B2+2B3t+3B4t2 t1<=t<=t2 (5-4)
Assumindo, sem perda de generalidade, que t1=0 e aplicando o quatro condições de fronteira,
P ( 0) = P1 (5-5a)
P (t2) = P2 (5-5b)
PÂ( 0) = P1Â (5-5c)
PÂ(t2) = P2Â (5-5d)
Produz quatro equações para o Bi desconhecido. Especificamente,
P(0)=B1=P1
PÂ(0)= S 4i=1 (i-1)ti-2 Bi |t=0 = B2 = PÂ1
P(t2)= S 4i=1 Bi ti-1 |t=t2 =B1 + B2t2 + B3t22+B4t32
PÂ(t2)= S 4i=1 (i-1)ti-2 Bi |t=t2 = B2 + 2B3t2+3B4t22
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Único segmento de spline cúbica. |
Resolvendo para B3 e B4 produz:
B3 = 3(P2-P1)/t22 - 2PÂ1/t2 - PÂ2/t2 (5 - 7a)
e
B4 = 2(P1-P2)/t23 - PÂ1/t22 - PÂ2/t22 (5 Â 7b)
Estes valores de B1, B2, B3 e B4 determinam o segmento de spline cúbico.
Note que a forma do segmento depende da posição dos vetores tangentes no final do segmento.
Além disso, note que o valor do t=t2 de parâmetro ao término do segmento aparece nos resultados.
Considerando que cada da posição finais e vetores tangentes tem três componentes, a equação paramétrica para uma curva espacial cúbica depende de doze componentes vetoriais e o valor do parâmetro t2 ao término do segmento.
Substituindo nas Eq. (5-6) e (5-7) na Eq. (5-1) obtemos a equação para um único segmento de spline cúbico:
P(t)= P1 + PÂ1t + [3(P2-P1)/t22 - 2PÂ1/t2 - PÂ2/t2 ] t2
+[2(P1-P2)/t23 - PÂ1/t22 - PÂ2/t22] t3 (5-8)
Equação (5-8) é para um único segmento de spline cúbico. Porém, para representar uma curva completa, são unidos segmentos múltiplos. Contanto que os vetores de posição P1,P2,P3, os vetores tangentes P'1,P'2,P'3 e os valores dos parâmetros t2, t3 são conhecidos, então a Eq.(5-8),aplicada para cada dois segmentos, suas formas. Porém, é improvável que o vetor tangente P'2 na junta interna entre os dois segmentos é conhecido.
Felizmente, o vetor tangente interno que P'2 pode ser determinado impondo uma condição de continuidade na junta interna.
Relembrando que uma spline de grau K tem continuidade de ordem K-1 nas juntas internas.
Assim, um spline cúbico tem continuidade de segunda-ordem nas juntas internas. Isto significa que o Segunda derivada P''2(t) é contínua ao longo da junta; i.e., a curvatura é contínua ao longo junta. Diferenciando a Eq.(5-1) duas vezes obtemos:
P''= S 4i=1 (i-1) (i-2) Bi ti-3 t1<=t<=t2
Note que para o primeiro segmento spline cúbico a região 0<=t<=t2,avaliando a Eq. (5-9) no final do segmento onde t=t2 obtemos:
P''=6B4t2+2B3
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Dois segmentos de spline cúbica. |
Durante o segundo segmento spline cúbico a região é 0<=t<=t3. Avaliando. A Eq.(5-9) do começo deste segundo segmento onde t=0 obtemos:
P''=2B3
Comparando estes dois resultados e usando Eqs. (5-6a,b) e (5-7a) obtemos:
6t2 [ 2 ( P1 Â P2 )/t23+ PÂ1 /t22- PÂ2 /t22] + 2 [ 3(P2 Â P1)/t22 Â 2PÂ1 /t2Â PÂ2 /t2]
= 2 [3( P3 Â P2)/t32 Â 2PÂ2 /t3Â PÂ3/t3]
Aqui o lado à esquerda da equação representa a curvatura do fim do primeiro segmento e o lado à direita a curvatura no começo do segundo segmento. Multiplicando por t2t3 e juntando os termos dados
t3PÂ1 + 2(t3 + t2 ) PÂ2 + t2 PÂ3 = 3 [ t2( P3 Â P2) = t2 (P2 Â P1)] ( 5 Â 10)
que pode ser resolvido para P'2, o vetor tangente desconhecido na junta interna.
Novamente note que o valor final de t,i.e, t2 e t3, aparecem na equação resultante.