• Como vimos nos últimos slides, inúmeros problemas de Matemática são temas de questões de competições de programação!


• Nesta aula apresentaremos tópicos sobre Análise Combinatória.

• Nenhuma liguagem de programação oferece biblioteca nativa com implementações específicamente relacionadas ao tema!

• Nos próximos slides apresetaremos conceitos úteis para solução de problemas que utilizam Análise Combinatória.

• Se um evento $A_i$ pode acontecer de $|A_i|$ maneiras diferentes,
  então o número de maneiras que os eventos $A_1, A_2, ..., A_n$ podem acontecer de forma sucessiva é:

  $|A_1||A_2| ... |A_n| = \displaystyle \prod_{i=1}^n |A_i|$

• Tal fato pode ser observado através de árvore de possibilidades.
  Ex: Se $A_1 = \{1,2\}$ e $A_2 = \{a, b, c\}$:

• Se $A_1, A_2, ..., A_n$ são conjuntos disjuntos, então o número de elementos da união $A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n$ é:
  

$|A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n| = \displaystyle \sum_{i=1}^n |A_i|$

• Ex: Se $A_1 = \{1,2\}$ e $A_2 = \{a, b, c\}$:

• Dados conjuntos $A_1$ e $A_2$ o número de elementos em $A_1 \cup A_2$ é:
  

$|A_1 \cup A_2| = |A_1| + |A_2| - |A_1 \cap A_2|$

• Ex: Se $A_1 = \{1,2,a\}$ e $A_2 = \{a, b, c\}$:

• O número de maneiras que podemos ordenar $n$ elementos em um conjunto com $n$ elementos:
  
  $P_n^n = n!$


• Ex: Se $A = \{a, b, c\}$:

• O número de maneiras que podemos ordenar $k$ elementos em um conjunto com $n$ elementos:
  
  $P_k^n = A_k^n = \frac{n!}{(n-k)!}$


• Ex: Se $A = \{a, b, c\}$ e $k = 2$:

• O número de grupos de $k$ elementos que pordemos formar, com repetição, em um conjunto com $n$ elementos:
  
  $AR_k^n = n^k$


• A ordem dos elementos é importante!


• Ex: Se $A = \{a, b, c\}$ e $k = 2$:

• O número de subconjuntos de $k$ elementos que pordemos formar, a partir de um conjunto com $n$ elementos:
  
  $ C_k^n = \left( \begin{array}{c} n\\k \end{array} \right) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$


• A ordem dos elementos não é importante!


• Ex: Se $A = \{a, b, c\}$ e $k = 2$:

• A quantidade $\left( \begin{array}{c} n\\k \end{array} \right)$ é chamada de Coeficiente Binomial.
• O coeficiente binomial pode ser calculado através do algoritmo:

C/C++:

          
#define MAXN 100

long binomial_coefficient(int n, int k) {

long bc[MAXN][MAXN]; // tabela de coeficientes binomiais

for (int i=0; i<=n; i++) {
    bc[i][0] = 1;
    bc[i][i] = 1;
}

for (int i=1; i<=n; i++)
    for (int j=1; j< i; j++)
        bc[i][j] = bc[i-1][j-1] + bc[i-1][j];

    return bc[n][k];
}
          
        

• O número de subconjuntos de $k$ elementos que pordemos formar, a partir de um conjunto com $n$ elementos:
  
  $ CR_k^n = \left( \begin{array}{c} n+k-1\\k \end{array} \right) = \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}$


• A ordem dos elementos não é importante!


• Ex: Se $A = \{a, b, c\}$ e $k = 2$:

• Uma combinação define a partição de um conjunto em dois subconjuntos, um com $k$ e outro com $k-1$ elementos.
  


• Partições generalizam combinações para 𝑟 subconjuntos

$ C_{n_1}^n C_{n_2}^{n-n_1} \dots C_{n_r}^{n-n_1 \dots n_{r-1}} = \frac{n!}{n_1!n_2!\dots n_r!}$


• Ex: Se $|A| = 3$ e $n_1 = 2$ e $n_2 = 1$:

• Sequência de inteiros: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . .
• O elemento de indice $n$ pode ser obtido usando a recorrência:

  $ \begin{array}{l} F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\\ F_1 = 1\\ F_0 = 0 \end{array} $

• Existe também uma fórmula fechada:

  $ F_n = \frac{1}{\sqrt 5}\left( \left( \frac{1+\sqrt 5}{2} \right)^n - \left( \frac{1-\sqrt 5}{2} \right)^n \right) $

• Sequência de inteiros: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, . . .
• O elemento de indice $n$ pode ser obtido usando a recorrência:

  $ \begin{array}{l} C_n = \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}C_kC_{n-k-1}\\ C_0 = 0 \end{array} $

• Existe também uma fórmula fechada:

  $ C_n = \frac{1}{n+1}\left( \begin{array}{c} 2n \\ n \end{array} \right) $

Leitura:

• Capítulo 5 do livro texto Competitive Programming 1
  Halim, S. e Halim, F.

Exercícios:

• Lista de exercícios 07, de problemas Análise Combinatória.