• Como vimos nos últimos slides, inúmeros problemas de Matemática são temas de questões de competições de programação!


• Nesta aula apresentaremos tópicos sobre Teoria dos Números.

• Um número inteiro $𝑛>1$ é dito primo se é divisível apenas por 1 e por ele mesmo.
• Para testar se um número é primo, podemos usar a rotina abaixo:

C/C++:

          
bool is_prime(long n) 
{
    if (n == 1) return false;
    if (n == 2) return true;
    if (n % 2 == 0) return false;

    long lim = (long)sqrt(n) + 1;

    for (long i = 3; i <= lim; i += 2)
        if (n % i == 0)
            return false;
    return true;
}
          
        

• Números amigos - Dois números inteiros em que cada um deles é a soma dos divisores próprios do outro.
  Exemplo:
  Os divisores de 220 são 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110 cuja soma é 284 e os de 284 são 1, 2, 4, 71 e 142 cuja soma é 220.


• Número abundante - Número inteiro menor que a soma dos seus divisores próprios.
  Exemplo:
  O número 12 tem divisores 1, 2, 3, 4 e 6 cuja soma é 16.

• Número deficiente - Número inteiro maior que a soma dos seus divisores próprios.
  Exemplo:
  O número 15 tem divisores 1, 3 e 5 cuja soma é 9.


• Número perfeito - Número inteiro igual a soma dos seus divisores próprios.
  Exemplo:
  O número 28 tem divisores 1, 2, 4, 7 e 14 cuja soma é 28.


• Número quadrado perfeito - Número inteiro que pode ser expresso como o quadrado de outro inteiro.
  Exemplo:
  O número 9 é igual a $3^2$.

• Dois números naturais sempre têm divisores comuns.
  Exemplo:
  Os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Logo o MDC é 6.


• O MDC entre dois números pode ser calculado através da rotina:

C/C++:

          
long mdc(long p, long q, long &x, long &y) 
{
    long x1, y1;

    if (q > p)
      return gcd(q, p, x, y);

    if (q == 0) {
      x = 1;
      y = 0;
      return p;
    }

    int g = gcd(q, p % q, x1, y1);
    x = y1;
    y = x1 – floor((p/q) * y1);
    return g;
}
          
        

Exemplo de problema:

Enunciado:
Três fios medem 24m, 84m e 90m foram cortados em pedaços iguais e do maior tamanho possível. Quanto cada pedaço deve medir?

Resposta:
MDC(24, 84, 90) = 2 x 3 = 6.

• Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles.
  Exemplo:
  Os multiplos de 4 são 8, 12, 16, 20, etc e os múltiplos de 6 são 12, 18, 24, 32, etc. Logo o MMC é 12.


• O MMC entre dois números pode ser calculado através da rotina:

C/C++:

          
long mmc(long p, long q) 
{
  long x, y;
  return (p * q) / mdc(p, q, x, y);
}
          
        

Exemplo de problema:

Enunciado:
Se o ano 2000 teve eleições presidenciais (ocorrem de 4 em 4 anos) e censo (ocorrem de 10 em 10 anos), qual o ano seguinte em que os dois eventos coincidiram?

Resposta:
2020 = 2000 + MMC(4,10)

• Adição e subtração:
  $(x\pm y) \hspace{-0.4cm}\mod n = ((x \hspace{-0.4cm}\mod n) \pm (y \hspace{-0.4cm}\mod n)) \hspace{-0.4cm}\mod n$


• Multiplicação:
  $(x y) \hspace{-0.4cm}\mod n = ((x \hspace{-0.4cm}\mod n) (y \hspace{-0.4cm}\mod n)) \hspace{-0.4cm}\mod n$


• Potênciação:
  $x^y \hspace{-0.4cm}\mod n = (x \hspace{-0.4cm}\mod n)^y \hspace{-0.4cm}\mod n$

• Dizemos que $a$ e $b$ são congruentes módulo $m$ quando a diferença deles é um inteiro múltiplo de $m$.
  
  Isto é:
  $(a-b) \hspace{-0.4cm}\mod m \Rightarrow a \hspace{-0.4cm}\mod m = b \hspace{-0.4cm}\mod m$.


• Notação: $a \equiv b \hspace{-0.4cm}\mod m$

• Se:
  $a \equiv b \hspace{-0.4cm}\mod n \hspace{0.6cm}$ e $\hspace{0.6cm} c \equiv d \hspace{-0.4cm}\mod n$


• Adição e Subtração:
  $a \pm c \equiv b \pm d \hspace{-0.4cm}\mod n$


• Multiplicação:
  $a c \equiv b d \hspace{-0.4cm}\mod n$

• $a d \equiv b d \hspace{-0.4cm}\mod n \hspace{0.6cm} \Longleftrightarrow \hspace{0.6cm} a \equiv b \hspace{-0.4cm}\mod n$


• $a d \equiv b d \hspace{-0.4cm}\mod nd \hspace{0.6cm} \Longleftrightarrow \hspace{0.6cm} a \equiv b \hspace{-0.4cm}\mod n$


• $a \equiv b \hspace{-0.4cm}\mod n \hspace{0.6cm}$ e $\hspace{0.6cm} b \equiv c \hspace{-0.4cm}\mod n \hspace{0.6cm} \Longleftrightarrow \hspace{0.6cm} a \equiv c \hspace{-0.4cm}\mod n$


• $ad \equiv bd \hspace{-0.4cm}\mod n \Longleftrightarrow \hspace{0.6cm} a \equiv b \hspace{-0.4cm}\mod \frac{n}{\text{mdc}(d,n)}$


• $a \equiv b \hspace{-0.4cm}\mod m \hspace{0.1cm}$ e $\hspace{0.1cm} a \equiv b \hspace{-0.4cm}\mod n \hspace{0.1cm} \Longleftrightarrow \hspace{0.1cm} a \equiv b \hspace{-0.4cm}\mod \text{mmc}(m,n)$


• $a \equiv b \hspace{-0.4cm}\mod n \Longleftrightarrow P(a) \equiv P(b) \hspace{-0.4cm}\mod n \hspace{0.6cm}$
  Onde $P$ é um polinômio.

Leitura:

• Capítulo 5 do livro texto Competitive Programming 1
  Halim, S. e Halim, F.

Exercícios:

• Lista de exercícios 08, de problemas Teoria dos Números.