Fundamentos de Arquiteturas de Computadores 2015.1

Representação em excesso

Padrao de bits     SM   C2
     000            0    0
     001           +1   +1
     010           +2   +2
     011           +3   +3
     100            0   -4 
     101           -1   -3
     110           -2   -2
     111           -3   -1

Utilizando as representações SM e C2 não podemos comparar dois números como inteiros sem sinal.
A representação em excesso permite que possamos comparar o padrão de bits referentes a cada inteiro com sinal, considerando que o padrão de bits representa inteiros sem sinal.
x_bias=x + bias
Exemplo:

Padrao de bits     ISS   Excesso de 2
     000            0         -2
     001            1         -1
     010            2          0
     011            3         +1
     100            4         +2 
     101            5         +3
     110            6         +4
     111            7         +5

Necessita-se definir o número de bits a ser utilizado e o valor de bias.
Escolhendo o bias: Para obter uma distribuição homogênea de valores acima e abaixo de 0, escolhe-se bias igual a 2^n-1 ou (2^n-1)-1), onde n é o número de bits disponíveis
Dados 4 bits, o valor de bias será 2³=8, de modo que o resultado represente metade de números positivos e metade de negativos.
Exemplo: valor a ser representado= +3, soma com bias +8, resultado 11, cuja representação é 1011
Dada a representação 0110, qual número ele está representando ?
0110 = 6 = x + bias = x + 8, x = 6-8=-2

Representação em ponto flutuante

Na representação em ponto fixo, a vírgula não é representada mas assumida em uma posição.
Nas máquinas atuais utiliza-se a vírgula na posição mais a direita para representar inteiros.
Números fracionários utilizam a representação em ponto flutuante.
Exemplo: 3,141592565
2,71828
1,0 x 10 ^-9
3.155.160.000 = 3,15576 x 10 ⁹
Maior número com 32 bits: 2.147.483.648
Utiliza-se a notação científica:
Um dígito à esquerda do ponto decimal
1,0 x 10 ^-9, 3,15576 x 10 ⁹
Notação científica normalizada: não possui zero antes da vírgula
0,1 x 10 ^-8, 10,0 x 10 ^-10, não normalizadas
1,0 x 10 ^-9, 1,0 x 10 ^-9, normalizadas
Números binários em notação científica normalizada
(1,0)₂ x 2 ^-1
Representação de um número na base 2 em ponto flutuante
(1,mmmmm)₂ x 2 ^yyy
Vantagens de se usar esta notação:

Padrão para trocar dados
Simplifica aritmética pois números padronizados
Aumenta precisão dos números que podem ser representados porque não desperdiça dígitos.
Exemplo: 0,000012 x 10 ^-2 = 1,2 x 10 ^-7

O que tem que ser representado ?

N = (+/-) 1,mmmmmmm x 2^yyyyyyyyy
    Sinal   Mantissa  Expoente
 
|----------------------------------------|
|  S | Expoente     |Mantissa            |
|----------------------------------------|
1 bit  7 bits        24 bits

Questões:

Quantos bits utilizar para mantissa e expoente ?
Qual a representação utilizada para mantissa e expoente? sinal e magnitude, complemento a 2 ?

Exemplo:
Suponha que S=0, positivo, S=1, negativo
Expoente representado em sinal e magnitude
Mantissa em binário
N = (+/-)1,M x 2 ^E
N=+407,375 = (110010111,011)₂=1,M x 2 ^E= 1,10010111011 x 2 ⁺⁸

S = 0
E = +8, utilizando-se sinal e magnitude com 7 bits, teremos a
representação: 0001000
M=10010111011 (11 bits) completa para 24 com 0s.
Sinal  Expoente      Mantissa
|-------------------------------------------------------|
|  0 | 0001000      |10010111011000000000000000000000000|
|-------------------------------------------------------|
1 bit  7 bits        24 bits


Dado o número em ponto flutuante, qual o decimal a ele associado ?


Exemplo: 04D00000

N = 1,M x 2^E
 
0000 0100 1101 0000 0000 0000 0000 0000
S=0, E=+4, M=1101
N=+1,1101 x 2⁴=11101=+29,0

Formato IEEE 754 para ponto flutuante

|31|30|29|28|27|26|25|24|23|22|21|....................|0|
|-------------------------------------------------------|
|S |Expoente               | Mantissa                   |
|-------------------------------------------------------|
 1    8                       23
 bit  bits                    bits
N=(-1)^Sx(1+M)x2^E=(-1)^S x (1,M)x2^E

Precisão simples: 8 bits para expoente e 23 para mantissa
Precisão dupla: 11 bits para expoente e 52 bits para mantissa

Decisões do IEEE 754

Sinal mais à esquerda para facilitar a comparação com zero, porque em complemento a 2 bit mais significativo é zero para números positivos e 1 para números negativos, então pode-se utilizar instruções que comparem inteiros
Expoente antes da mantissa porque números com maior expoente são maiores e a representação do inteiro é maior.
Suponha que temos 3 bits para expoente, 6 para mantissa e 1 para sinal. Se usarmos complemento a 2 para expoente:
1,0 x 2^-1 = 0111000000
1,0 x 2⁺¹ = 0001000000
Comparação de números inteiros não ia funcionar
Utiliza-se a notação excesso de N.
O expoente mais negativo tem a representação 0000...000, e o mais positivo tem a representação 111...11
Com 3 dígitos, excesso ou bias = 2^3-1=4
-4+4=000
-2+4=010
-1+4=011
0+4=100
1+4=101
2+4=110
3+4=111
N=+1,01 x 2^-4=0000010000
N=+1,01 x 2⁺¹=0101010000
Representação em ponto flutuante para expoente, temos 8 bits, o excesso pode ser 2⁷ ou 2⁷-1.
Escolheram o segundo que é 127 para precisão simples e 1023 para precisão dupla.
Representação em ponto flutuante

Formato IEEE 754 para ponto flutuante
```
|31|30|29|28|27|26|25|24|23|22|21|....................|0|
|-------------------------------------------------------|
|S |Expoente               | Mantissa                   |
|-------------------------------------------------------|
 1    8                       23
 bit  bits                    bits
N=(-1)^Sx(1+M)x2^E=(-1)^S x (1,M)x2^E
```
Precisão simples: 8 bits para expoente e 23 para mantissa
Precisão dupla: 11 bits para expoente e 52 bits para mantissa
Representação em ponto flutuante para expoente, temos 8 bits, o excesso pode ser 2⁷ ou 2⁷-1.
Escolheram o segundo que é 127 para precisão simples e 1023 para precisão dupla.
Exemplo de precisão dupla:
-0,75=-0,11₂=-1,1₂x 2^-1
N=-1,1₂ x 2^-1
N=(-1)^S x (1+M)x 2^(E-1023)=
(-1)¹ x (1+0,10000000000000000000000)x 2^(1022-1023)
1011111111101000000000000000000000000000000000000000000000000000

C0A00000C0A00000 representa que número em ponto flutunate ?
1100 0000 1010 0000 0000 0000 0000 0000 1100 0000 1010 0000 0000 0000 0000 0000
Sinal = -1
Expoente=E-1023=1034-1023=+11
Mantisssa=0000000000000000000011000000101000000000000000000000
N=-1,0000000000000000000011000000101₂x2⁺¹¹

Casos especiais:

E=0(e=-127) e M=0, S=0 ou 1, representa zero
E=0(e=-127) e M#0, S=0 ou 1, Não normalizado, e=-126, complicado de usar
E=255(e=-128) e M=0, S=0 ou 1, (+/-)infinito, divisão por zero
E=255 (e=-128), M#0, S=0 ou 1, NaN, 0/0,infinito -infinito
-126 =< e <=+127, número normalizado

Menor denormalizado, 0,00000000000000000000001₂x2^-126=1,0₂x2^-149
Maior denormalizado, 0,11111111111111111111111₂x2^-126
Menor número normalizado, 1 para expoente e 0 para mantissa, 1,0₂x2^-126 = 10 ^-38

Maior número normalizado, bits do expoente todos em 1, com exceção do bit menos significativo, logo e= 254-127=+127, e mantissa toda com 1s, 1,1111..1₂x2¹²⁷=10³⁸

Valores para o padrão IEEE 754

Sinal	Expoente	Mantissa	Valor do número
0	0000....0000	0000....0000	+0
0	0000....0000	0000....0001 1111....1111	0,M x 2^-126
0	0000....0001 1111....1110	XXXX....XXXX	1,XXXX....XXXX x 2^(e-b)
0	1111....1111	0000....0000	+ infinito
0	1111....1111	0000....0001 1111....1111	NaN
1	0000....0000	0000....0000	-0
1	0000....0000	0000....0001 1111....1111	-0,M x 2^-126
1	0000....0001 1111....1110	XXXX....XXXX	-1,XXXX....XXXX x 2^(e-b)
1	1111....1111	0000....0000	- infinito
1	1111....1111	0000....0001 1111....1111	NaN

Soma em ponto flutuante

Somar 9,999x10¹ com 1,610x10^-1.
Suponha que pode-se utilizar 4 dígitos para o número e 2 dígitos para expoente.

Alinha o ponto decimal do número que tem o menor expoente para igualar ao expoente do número que tem maior expoente.
1,610x10^-1=0,1610x10⁰=0,016x10¹(só pode usar 4 dígitos)

Porque alinha menor com maior ? Pode perder digitos, então melhor perder dígitos menos significativos. Maior chance de resultado ser normalizado.
```
1.101 x 2^-3,  
1.001001 x 2⁶
          .000000000001101 x 2⁶
         1.001001          x 2⁶ 
        ------------------
         1.001001000001101 x 2⁶
```
Soma as mantissas
```
 9,999
 0,016
--------
10,015x10¹
```
Coloca em notação científica normalizada
10,015x10¹=1,0015x10²
Ajusta para número de dígitos possível com arredondamento
1,0015x10²=1,002x10²
Verifica se houve overflow ou underflow (expoente maior ou menor do que é possível ser representado)

Exemplo de adição de números em ponto flutuante em binário:

Assumir 4 dígitos para número e 2 dígitos para expoente
Somar 0,5₁₀ com -0,4375₁₀

Converte para a base 2.
0,5=0,1x2⁰=1,000x2^-1
-0,4375=-0,01110x2⁰=-1,110x2^-2
Desloca para a direita o número com menor expoente. O número de deslocamentos é igual a diferença entre os expoentes. Se os expoentes são iguais, não há deslocamento.
-1,110x2^-2=-0,1110x2^-1=-0,111x2^-1
Soma os números
1,000x2^-1+(-0,111x2^-1)=0,001x2^-1
Normaliza a soma se necessário
(ex. resultado igual a 10.__ ou 11.__ deverá sofrer um deslocamento para a direita e um incremento no expoente. Podemos tambem ter um resultado de 0.____ se somarmos um número positivo com negativo. Deverá sofrer um deslocamento para a esquerda e um decremento do expoente.
0,001x2^-1=0,010x2^-2=0.100x2^-3=1,000x2^-4
Para padrão IEEE 754 precisão simples, ocorre overflow se expoente maior que 127 ou underflow se expoente menor que -126 então será gerada uma exceção
Trunca resultado para número de bits que pode ser utilizado.
1,000x2^-4.