Última atualização: 22 de julho de 2014

Geometria Fractal

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Últimas ocorrências : 96/2, 98/2 , 99/2 , 2000/2 , 2002/2 , 2003/2 , 2005/1 e 2008/2

Horário do curso: quartas, das 16 às 19 horas - sala 501: bloco do IC
Atentimentos - Bloco D - sala 452 (Lab. de Comp. Visual)



Notas da ultima turma


    Tópicos:
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1.Introdução a Geometria Fractal : Geo. Fractal x Geo Euclidiana . Outras geometrias: Hyperbolic (Lobachevsky/Bolay e Poincaré), Elliptic (Riemann). Utilizações: 2 e 3-Manifolds . Noção intuitiva de dimensão fractal e conjuntos fractais . Paradoxo do infinito. Diagramas de Bifurcação.

2.Sistemas Dinâmicos e Caóticos. Orbitas. Teoria da Bifurcação. Espaços de fase. Mapas e Seções de Poincaré. Instabilidade e Bifurcações Estáticas e Dinâmicas. Rotas para o Caos. Indices de Poincaré. Intermitência. Atratores Estranhos. Expoentes de Liapunov. Variedades. Invariantes. Orbitas Homoclinicas. Caos Homoclinico - Teoria de Melnikov. Bacia de atração conservativa. Caos Experimental. Reconstrucão de atratores. Teoria de Takens. Algoritmos para Geração de Fractais. Conjuntos de Julia e Mandelbrot (fontes em C) . Método de Newton. Algoritmo Escape Time . Animações .

3. Espaços Métricos e Topológicos . Multidimensional Balls e Multidimensional Spheres. Seqüências de Cauchy . Espaços Completos e Compactos . Métricas: métrica de Hausdorff. Medidas . O espaço de Hausdorff-Besicovich . Propriedades do Espaço das Fractais . Homotopia

4. Distancia ou medida de Hausdorff. Dimensões Box-counting . Lacunaridade . Dimensão de Hausdorff-Besicovich. Definições alternativas de dimensões. Qual a DF do mapa do Brasil? Algoritmo de cálculo de DF de imagens multibandas como as de satelites. Segmentação de imagens por alguma dim. fractal. Coeficiente de Hurst e seus usos .

5.Geração de Fractais por Iterated Functions Systems . IFS Deterministicas e Randomicas . Compressão de Imagens e Codificacao Automatica Implementacao do IC/UFF de Compressao Fractal Automatica.Teorema de Elton (Collage) (teoria para entender o metodo). Zoom, Textura e Rendering .

6.Modelagem Fractal para C.G. gerativa . Cenários Naturais: montanhas, nuvens, plantas, animais, texturas . Lindenmayer-Systems . Busca e Substituição. Turttle Graphics . Phyllotaxis, trees, inflorescence, cellular layers, regras de crescimento .

7.Mapas de Henon . Mapeamentos . Transformações ( na reta, no plano e espaciais) . Projeções Dobramentos . Transformações Afins . Transformações de Möbius . Transformações Analíticas. Mapeamentos Geográficos: projeções estereograficas, cilindricas e conicas. Efeitos Especiais. Map. Transfinitos. Morphing e Warping.

8. Aplicações: Reconhecimento segmentacao e identificação de textura e padrões. Imagens Médicas. Controle de Qualidade de superfícies.


Links:


    Bibliografia:

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  1. Anton, H. e Rorres, C. - Algebra Linear com Aplicacoes, Bookman, Porto Alegre, 2001Capitulo 11.
  2. Barnsley, M. F. - Fractal Everywhere, Academ. Press,2 ed., 1993
  3. Barnsley, M. F. and Hurd, L. - Fractal Image Compression, AK Peters. Wellesley. 1993.
  4. Barnsley, M. F. and Demko, S.G. - Chaotic Dynamics and Fractals, Academic Press, London, 1986. ( BIF/UFF 8648 01 - 530.13011 C 461 )
  5. Devaney, R. L. - An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, Addison-Wesley, 2 ed., 1989
  6. Falconer, K. J. - Fractal Geometry, Wiley, 1989
  7. Falconer, K. J. - The Geometry of Fractal Sets, Cambridge Press, 1985
  8. Fisher, Y. - Fractal Image Compression: Theory and Application, Springer-Verlag. New York. 1995. ( BCTC/UFF 006.42 - F 798- 1995 )
  9. N. Fiedler-Ferrara, C. P. Cintra do Prado - Caos: uma introducao - Edgard Blucher, 1994, Sao Paulo, BIF /UFF - 31471 05 - 530.13011 F458.
  10. Gleick, J. - Chaos : making a new science, Penguin Books, New York, 1987.( BIF/UFF 8761 01 - 530.13011 G 556 )
  11. Hussain, H. - Digital Image Processing: practical applications of parallel processing techniques, Ellis Horwood, New York, 1991.( BCTC/UFF 006.42 H 972 1991 )
  12. Lu, N. - Fractal Imaging, Academic Press. San Diego. 1997.
  13. Mandelbrot, B. B.- Fractals, form, change and dimension, Freeman, 2 ed., 1977
  14. Meinhardt, H. - The Algorithmic Beauty of Sea Shells, Springer, Berlin, 1995. ( BIF/UFF 32921.01 - 530.13011 M 514 )
  15. Peitgen, H.O., Jurgens, H. and Saupe, D. - Chaos and Fractals: new frontiers of science, Springer-Verlag, New York, 1992. ( BIF/UFF 33758.01 - 530.13011 P 379 )
  16. Peitgen, H.O. and Saupe, D. - The Science of Fractal Images, Springer-Verlag, New York, 1988. ( BCTC/UFF 006.6 - S416 1988 )
  17. Peitgen, H.O. and Richter, P.H. - The Beauty Fractal: Images of complex dynamical systems, Springer-Verlag, New York, 1986.
  18. Prusinkiewics, P. Lindenmayer, A. - The Algorithmic Beauty of Plants,Springer, 1991
  19. Stevens, R. T. - Fractal programming in C, M&T Publishing, 1989
  20. Vicsek, T., Shlesinger, M. and Matsushita, M. - Fractals in Natural Science, World Scientific,River Edge, NJ, 1994.( BIF/UFF 32735 01 - 530.13011 F 798 )
  21. J. R. Parker - Algorithms for Image Processing and Computar Vision - John Wiley & Sons, Toronto, 1997 , ISBN: 0-471-14056-2 - UFF/ Bib. CTC 005.136 P238, 1997.
  22. Mouloud Adel, Daniel Zuwala, Monique Rasigni, Salah Bourennane: Enhancement of Mammographic Phantom Features by Noise Reduction. International Journal of Pattern Recognition and Artificial Intelligence : IJPRAI 21(6): 1047-1057 (2007)
  23. Li, H.; Liu, K.J.R.; Lo, S.-C.B. Fractal modeling and segmentation for the enhancement of microcalcifications in digital mammograms Medical Imaging, IEEE Transactions on Volume 16, Issue 6, Dec. 1997 Page(s):785 - 798 Digital Object Identifier 10.1109/42.650875
    Summary:The objective of this research is to model the mammographic parenchymal and ductal patterns and enhance the microcalcifications using a deterministic fractal approach. According to the theory of deterministic fractal geometry, images can be modeled by deterministic fractal objects which are attractors of sets of two-dimensional (2-D) affine transformations. The iterated functions systems and the collage theorem are the mathematical foundations of fractal image modeling. Here, a methodology based on fractal image modeling is developed to analyze and model breast background structures. The authors show that general mammographic parenchymal and ductal patterns can be well modeled by a set of parameters of affine transformations. Therefore, microcalcifications can be enhanced by taking the difference between the original image and the modeled image. The authors' results are compared with those of the partial wavelet reconstruction and morphological operation approaches. The results demonstrate that the fractal modeling method is an effective way to enhance microcalcifications. It may also be able to improve the detection and classification of microcalcifications in a computer-aided diagnosis system.


    Trabalhos:

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    turma 2008/2
    1. Para 3/9/2008:
      Ler o Capitulo 11 de Anton & Rorres (Referencia 1) fornecido na aula de 27/08/2008. Responder os exercicios sugeridos em sala de aula (1, 3(a), 6, 7, 8 e 9) . Depois de discuti-los com os demais alunos do curso, entrega-los (individual).

    2. Primeiro entenda o material da aula passada: Compressao Fractal Automatica. Para isso, se precisar leia tambem os textos: Mapeamentos e Compressao Fractal e teoria para entender o metodo, acima. Depois leia com cuidado o paper fornecido na primeira aula aos alunos por e-mail. Finalmente faca a critica (revisao) a este paper respondendo as perguntas do site fornecido pela professora.

    3. Implemente o Algoritmo "Aleatorio para Geracao de Fractais Imagens em Preto e Branco" atraves do codigo IFS , apresentado na pagina 8 do do texto Codificacao Automatica de Imagens", ou o programa CHAOS disponivel acima, ou mesmo outros novos que voce achar na Internet (se voce achar melhores e mais atuais) . Use qualquer um destes metodos para construir uma fractal, usando IFS com probabilidade, que gere a letra inicial do seu nome. Traga essa sua fractal, gerada e comprimida (codigo IFS) , na proxima aula: 17/09/2008. Novamente, na secao 2.2 do mesmo texto tem a resposta de como fazer isso. A principio nao se preocupe com o formalismo matematico do texto. Nos o estudaremos com calma nas proximas aulas (caso se voces precisarem disso para entender como se determina o codigo IFS manualmente).

    4. Descubra codigos de compressao automatica de imagens em tons de cinza disponiveis na internet. Traga os resultados de sua busca para discutirmos em sala, em proxima aula (22/10/2008) escolheremos alguns deles para comparar e/ou implementar modificacoes, como o paper que revisamos no exercicio 2.

    5. Considerando a texto que o Luciano trouxe para a gente no segundo dia de aula, refazer a experiencia de calculo de valores para objetos Fractais e Euclidianos das figuras 5 a 8 e tabelas 1 e 2 , segundo a tabela abaixo (os alunos fazem individualmente os 2 calculos de 2 coisas). Entregar na proxima aula (24/09/2008). Para entender melhor o que é pedido é legal ler sobre o Efeito Richardson no capitulo 2 da referencia 13, acima (ou no capitulo 2 da referencia 2 do texto do Luciano). Explique ainda o que é o Efeito Richardson e calcule a DF do Ilha e do Arquipelago de Koch #, que são definidos no mesmo capitulo 2 da referencia 13, acima (ou no capitulo 2 da referencia 2 do texto do Luciano).
      Je - Marcelo Perimetro da Elipsecosta do Brasil
      Leo - RobertaArea do circuloarea do Brasil
      Luciano - RodrigoArea de um molde 2Dtriangulo de Sierpinski
      #- tambem chamados de Ilha de Koch (Koch island) e Lago de Koch (Koch lagoon)

    6. Usando o software HarFa, o teorema 4 , e algum outro software que voce achar pela internet (pronto) para calculo da DF de imagens preto e brancas calcule DF da inicial do seu nome (a que voce gerou no trabalho 3). Compare os resultados obtidos (por pelo menos 3 formas diferentes). (Este é para 1/10/2008).

    7. Procure pela internet programas e papers que considerem o calculo da DF e do coeficiente de Hurst para imagens em tons de cinza. Use-os para calcular a DF de imagens padroes de comparacao como as Brodatz textures. Reserve esses para calcular um conjunto de texturas em aplicacoes como mamogramas e termogramas em cinza. (Este é para 22/10/2008)
    8. Resolva para proxima aula a lista de L-System distribuida em sala de aula.
    9. Seminarios dos Alunos em 19/11
      1. Retratos e Espaco de Fase - Luciano
      2. Lacunaridade e Sucolaridade - Leonardo ou Rodrigo- (entar em contato com o Rafael Melo para entender as implementacoes dele, esse assunto ja adiantaria as dissertacoes de mestrado de ambos)
      3. Formas de Medir DF em Imagens Medicas - Jesuliana
      4. L-systems em Cenarios - ? Leonardo?
      5. Revisao de formas de usar a Geometria Fractal em Mamogramas - Rodrigo ?
      6. Fractais em Rendering de texturas - Marcelo (dica : Min-Lu Dai & K. Ozawa, "Simulation of worn-out cloth textures by doubly stochastic L-systems",Image and Visuon Computing 16 (1998) 363-371 .
    10. Escrever e enviar resumos estendidos (relacionados ao assunto do seu seminario e aos temas do congresso que voce escolher) em Portugues ou em Ingles para um dos congressos abaixo:
      *ENEBI 2009 – Encontro Nacional de Engenharia BioMecânica* (www.enebi2009.ufsc.br ate o dia *17 de Novembro de 2008*
      PACAM- 11th Pan-American Congress of Applied Mechanics
    ( turma 2005/1 )
    1. Procure outros exemplos de conjuntos nomofractais 3D além da Esponja de Menger (ou Menger's sponge) e da Piramide de Sierpinsky. Utilizando a definição da fractal 3D que voce achou implemente sua vizualização.
    2. Corrigir e completar os texto do curso.

    3. Utilizar como usuário o sistema Terragem (descubra-o usando esse nome em um site de busas na internet) : e tirar dele inspiração para criar sua implementação de um elemento de paisagem, como montalha, nuvem, relevo, raios, etc...

    4. Trabalho de pesquisa com assunto individual - Escolher (sem sobreposição de temas) um dos assuntos abaixo para pesquisar aplicacoes e desenvolver uma monografia individualmente:
      1. Espaços de fase , Mapas e Seções de Poincaré (escolhido pelo Erick)
      2. Instabilidade e Bifurcações Estáticas e Dinâmicas. Rotas para o Caos. Intermitência. Atratores Estranhos.
      3. Expoentes de Liapunov. (escolhido pela Maysa)
      4. Variedades Invariantes. Orbitas Homoclinicas. Caos Homoclinico- Teoria de Melnikov
      5. Bacia de atração conservativa. Sensibilidade, Área e Profundidade da Bacia de Atração. Mecanismos de Escape.
      6. Caos Experimental- Reconstrucão de atratores. Teoria de Takens.
      7. Lacunaridade. (escolhido pelo Joao)

    5. Trabalho de assunto individual: escolher e mudar a implementação de algum dos itens abaixo (tambem individualmnete) implementados em anos anteriores ( pegar com a Prof. um exemplo de código inicial)
      1. Transformar o conjunto de Maldelbrot, modificando os fontes fornecidas para gerar outras fractais por escape time. O sistema deve sempre apresentar os resultados de modo que a tela seja preenchida em 4 passagens, na seguencia dos arquivos GIF-interlaced (isso quer dizer uma primeira passagem de 8 em 8 linhas apartir da linha 0, depois uma segunda passagem de 8 em 8 linhas a partir da linha 4, a seguir uma passagem de 4 em 4 linhas a partir da linha 2, e finalmente uma passagem de 2 em 2 linhas a partir da linha 1, cobrindo assim todas as linhas apenas nesta última passagem). A implementacao alem de permitir que o usuario aplique zooms em pontos qualquer deve indicar na tela as coordenadas das areas de zoom da figura mostrada (limites inferiores e superiores do plano complexo) . Pode ser usado o software free Chaos que pode ser obtido nesta pagina para selecionar outras funções parecidas com diversas Julias, etc..

      2. Implementar novas versões do diagrama de bifurcação da função de crescimento fornecida, que possibitar por meio de zoons o estudo em detalhes da zona de caos e dos limites das "janelas de ordens" no interior da região caótica.

      3. Melhorar alguma das implementações de anteriores do sistema para de desenho de fractais por "turtle graphics", principalmente o diálogo com o usuário. O sistema fornecido permite gerar:
        (1) fractais determinísticas, como a Ilha de Koch (Koch island) e Lago de Koch (Koch lagoon).
        (2) arvores fractais onde os angulos dos galhos com tronco e seus tamanhos sejam aleatórios em cores. (escolhido pela Maysa)

      4. Melhorar alguma das implementações de anteriores de um sistema para de desenho de fractais por "L-system". Usar esse sistema para:gerar as mesmas fractais do trabalho anterior mas usando agora uma formulação com axiomas e regras de substitição. Tornando possivel que o usuário gere qualquer figura pela implementação. (escolhido pelo Joao)

      5. Melhorar alguma das implementações de anteriores do sistema que gera um desenho dado um código IFS de qualquer tamanho. Tornar possivel que o usuário determina interativamente o código que gera afigura.


    6. Desenvolver um trabalho de aplicação que use os assuntos apreendidos neste curso. Como por exemplo: Usar a DF para caracterizar multidões, o crescimento de colheita, tumores e fungos, para desenhar texturas sinteticas, etc...
      Trabalhos: ( turma 2000/2 )

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  1. Implementar um sistema dinamico 2D, 3D ou complexo ( por exemplo Mapas de Henon, gingerbreadman, Julias, Mandelbrot, etc)
  2. Definir o codigo IFS do seu proprio nome (pode usar o Chaos ou qualquer outro software para isso).
  3. Implementar algoritmo de cálculo de DF de imagens, discutidos no texto do curso, para imagens coloridas ou multicanais como as de satelites
  4. Implementar algum algoritmo de warping em imagens pelas suas transformacoes geometricas: dobramentos, projecoes estereograficas, Mobius, etc..
  5. Implementar algoritmo de segmentação de imagens por alguma dim. fractal
  6. Pesquisar Fractais/Cientistas/Aplicacoes (Hausdorff, Lorenz, Mobius, Henon, Julias, Mandelbrot, etc)
  7. Estudo da viabilidade da utilizacao da DF como ferramenta em uma aplicacao da Visao de Maquina/Reconhecimento de Padroes .

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